ECUACIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS RESUELTOS

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ECUACIONES ALGEBRAICAS ASPECTOS TEORICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS






















































Hace cinco mil años, en el país de los sumerios, cerca del Golfo Pérsico, se dieron las primeras dificultades matemáticas que necesitaban ser interpretadas bajo ciertas igualdades. Esto dio inicio a las primeras relaciones que posteriormente los matemáticos llamarían teoría de ecuaciones. Con el afán de resolver las ecuaciones se han creado nuevas teorías, nuevos conceptos, nuevos conjuntos numéricos. Los primeros en descubrir el método de resolución de las ecuaciones de primer y segundo grado fueron los matemáticos sumerios y babilonios (3000 a.n.e); luego Diofanto (329-410 d.n.e), fundador del Álgebra; los hindúes y, finalmente, los árabes (siglo IX).

La ecuación de tercer grado hizo posible que Cardano y Tartaglia inventaran los números complejos en el siglo XVI. Ludovico Ferrari (1522-1565), discípulo de Cardano, encontró el método general de la resolución de la ecuación de cuarto grado. Posteriormente, René Descartes, sabio y filósofo francés, inventor de la geometría analítica, descubre otra forma de resolver la ecuación cuártica. Como es lógico, los matemáticos trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro (quinto grado, sexto grado y en general de grado n). Este estudio tenía un interés doble, ya que hubiera constituido un gran logro encontrar un método general de resolución para todas las ecuaciones de una incógnita, cualquiera sea su grado. Tras muchos intentos, se llegó a la conclusión de que las ecuaciones de quinto grado o superior a cinco eran imposibles de resolver usando solamente cálculos algebraicos. Paolo Ruffini, un médico italiano, había tratado de demostrarlo en 1798, en su Teoría general de las ecuaciones, pero la demostración resultó incompleta. Al cabo de unos años, en 1824, el célebre joven matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) descubrió el teorema que lleva su nombre: teorema de Abel, y dice: «Es imposible resolver algebraica mente (por radicales) las ecuaciones generales de grado superior a cuatro; es decir, no existe una fórmula general que resuelva todas las ecuaciones de grado cinco, de grado seis, etc. Para ecuaciones de grados superiores a cuatro, el teorema especifica que cualquier ecuación no puede resolverse por radicales, pero hay ecuaciones particulares en las que sí se puede.

El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que pueden ser resueltas mediante radicales de aquellas que no, fue dado por Évariste Galois (1811-1832), fundador de la teoría de grupos, y es parte de la teoría de Galois: «Una ecuación polinómica puede ser resuelta mediante radicales si y solo si su grupo de Galois es un grupo resoluble». En el análisis moderno, la razón por que las ecuaciones polinomiales de segundo, tercero o cuartogrado pueden ser resueltas siempre mediante radicales, pero las ecuaciones de grado superior no, es simplemente por... hecho algebraico de que los grupos simétricos 52, 53 y 54 son grupos resolubles, mientras que...no es resoluble para... Si una ecuación polinomial tiene coeficientes reales o complejos y permitimos soluciones complejas, entonces cualquier ecuación polinomial tiene soluciones; esto lo garantiza el teorema fundamental del álgebra. Aunque estas soluciones no siempre pueden ser ca1culadas exactamente con un número finito de operaciones aritméticas, pueden ser aproximadas mediante un cantidad de iteraciones convenientes, usando algunos métodos numéricos: método de Newton-Raphson o el método de Laguerre, y de ese modo no son diferentes de las soluciones de las ecuaciones polinómiales de segundo, tercero y cuarto grado.


Ecuaciones algebraicas
Si las expresiones que definen a la ecuación son algebraicas, pueden ser:
* Polinomiales
* Fraccionarias
* Irracionales
Ecuaciones no algebraicas o trascendentes
Si al menos una expresión es no algebraica o trascendente, pueden ser:
* Exponenciales
* Trigonometricas
* Logarítmicas
Solución de una ecuación
Es aquel valor que toma la incógnita y convierte la ecuación en una igualdad, es decir, convierte la ecuación en una proposición verdadera.
Conjunto solución de una ecuación
Es el conjunto denotado por es que agrupa a todas las soluciones de la ecuación en discusión.
CLASES DE ECUACIONES
Por su estructura
Depende del tipo de expresión o expresiones matemáticas que definen a las ecuaciones. Pueden ser algebraicas o trascendentes.
Conjunto solución de una ecuación
Es el conjunto denotado por es que agrupa a todas las soluciones de la ecuación en discusión.
Resolución general de la ecuación cúbica
Esta solución se conoce generalmente como la fórmula de Cardano, ya que fue publicada por primera vez por él en su 'obra Ars Magna, en 1545. Cardano obtuvo la solución de Tartaglia, pero la solución original de la cúbica parece deberse originalmente a Scipio del Ferro, alrededor del año 1505.
TRANSFORMACIONES DE LAS ECUACIONES
Con frecuencia, es necesario transformar una ecuación en otra, cuyas raíces
tengan una relación con las raíces de la ecuación general.
Las principales transformaciones son:
Las raíces aumentadas en una constante
Las raíces recíprocas
Cuadrado de las raíces
ECUACIONES FRACCIONARIAS
Resolución de la ecuación fraccionaria
ECUACIONES IRRACIONALES
Resolución de la ecuación irracional
Todas las ecuaciones irracionales se resuelven en el conjunto R.. Para su mejor estudio, analizaremos por separado aquellas ecuaciones que presentan radicales de índice impar y las que presentan radicales de índice par.
Radicales de índice impar
Radicales de índice par

Gerolamo Cardano
* Nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía, actual Italia, y murió el 21 de septiembre de 1576 en Roma. Fue un reconocido matemático, médico, astrólogo y filósofo de su tiempo, además de un gran aficionado a las predicciones y a los juegos de azar. Fue hijo ilegítimo de Chiara Micheria y de Fazio Cardano, abogado
de profesión, quien además de ejercer las leyes daba conferenciassobre geometría en la Universidad
de Pavía y en la Fundación Piatti de Milán, y era gran amigo de Leonardo da Vinci. Cardano se acercó a las matemáticas por medio de su padre, como asistente; pero él aspiraba a ser algo más. Su padre quería que estudiase Derecho, pero en 1520 ingresó a la Universidad de Pavía para estudiar medicina. Debido al estallido de la Guerra de los Cuatro Años, Cardano continuó sus estudios en la Universidad de Padua. Era un alumno brillante, pero muy crítico, lo que le ocasionó algunas enemistades. Al poco tiempo de su traslado a Padua, su padre murió; Cardano malgastó el dinero de la herencia y se dedicó a los juegos de azar para mejorar sus finanzas. Sus conocimientos sobre probabilidades le permitieron obtener ciertas ventajas sobre sus contrincantes, y en las apuestas en los juegos de cartas, dados y ajedrez fue más lo que ganó que lo que perdió. Lamentablemente, esto se había convertido en un estilo de vida para él.

* En 1525 se graduó de médico,
pero, a pesar del respeto que se
ganó como estudiante, no pudo ingresar
al Colegio Médico debido a su
reputación de hombre difícil, pues
consideraban que sus opiniones no
eran las convencionales y que las expresaba
de manera brusca y sin pensar
en las consecuencias. Además,
su nacimiento ilegítimo era otro motivo
por el cual lo rechazaban.
Cardano decidió irse a Sacco,
un pequeño pueblo no muy alejado
de Padua. Allí instaló un pequeño
consultorio y conoció a su futura
esposa, Lucía Bandarini, hija de un
capitán de la milicia. En 1531 se casaron,
y al año siguiente se mudaron
a Gallarete, cerca de Milán. Intentó
ingresar al Colegio Médico nuevamente,
pero fue rechazado. Abatido
por no poder ejercer la medicina,
Cardano regresó a las apuestas para
mantenerse económicamente, pero
no le fue tan bien, por lo que se vio
obligado a empeñar algunas joyas
de su esposa. Probaron suerte en
Milán, pero les fue peor.
Las cosas cambiaron cuando
Cardano obtuvo el puesto de profesor
de matemática en la Fundación
Piatti de Milán. Además, siguió dedicándose
a tratar algunos pacientes,
a pesar de no ser miembro del Colegio.
Se dice que consiguió algunas
curas casi milagrosas y su reputación
lo llevo incluso a ser consultado por
algunos médicos del Colegio. Esto
trajo como consecuencia la aparición
de admiradores y seguidores,
con lo cual Cardano pudo construir
una base de fiadores influyentes.
Sin embargo, Cardano seguía sin
pertenecer al Colegio, así que, a manera
de venganza, escribió un libro,
en 1536, en el que atacaba la aptitud
médica de la institución y también a
sus miembros. Esta no era la mejor
forma de conseguir una plaza, pues
al siguiente año su solicitud nuevamente
fue rechazada. Pero dos años
después, tras la presión de sus admiradores,
el colegio cambió la cláusula
relativa al nacimiento ilegítimo
y admitió a Cardano. Para 1538, Cardano
publicó dos libros, uno de ellos
era La práctica de la aritmética y la
medición simple.
Un año después entabló comunicación
con Tartaglia, quien había
alcanzado la fama tras ganar un concurso
sobre la resolución de cúbicas,
e intentó convencerlo para que le
explicara su método. Tartaglia accedió
siempre y cuando Cardano le
jurara que no iba publicarlo antes
que él. Durante seis años, Cardano
trabajó en las ecuaciones de tercer
y cuarto grado mediante radicales.
En 1450 Cardano renunció a su
puesto de matemático en la Fundación
Piatti, vacante que fue cubierta
por su asistente Ludovico Ferrari,
quien había resuelto las ecuaciones
cuárticas mediante raíces. Durante
los siguientes dos años, Cardano
volvió a relacionarse a los juegos
de azar y las apuestas. Para 1545,
Cardano publicó su mejor obra matemática,
Ars Magna. En ella explicaba
los métodos de solución de la
ecuación cúbica y cuártica. y como
había descubierto que Tartaglia no
fue el primero en resolver una ecuación
cúbica por radicales, no sintió
que estaba faltando a su promesa al
publicar esta obra.
En 1546 su esposa Lucía muere,
pero a Cardano le interesaba más
la fama que estaba alcanzado gracias
a la venta de sus libros. Pronto
se convirtió en el rector del Colegio
de Médicos y ganó la reputación
de ser el mejor médico del mundo.
Curó al arzobispo de Sto Andrews,
John Hamilton, quien padecía de un
asma severa, entre otros pacientes
acaudalados, y se hizo rico y próspero.
Pero sufrió lo que llamó «la
mala suerte del poderoso». Su hijo
mayor, Giambatista, también médico,
se casó con Brandonia di Seroni,
«una mujer indigna y desvergonzada
», según las palabras de Cardano,
a la que le interesaba solo el dinero
y que se burlaba públicamente de
su esposo por no ser el padre de sus
tres hijos. Esto provocó que Giambatista
la envenenara. Luego de ser
arrestado, confesó el crimen. Cardano
contrató a los mejores abogados,
pero en el juicio, el jurado decretó
que para salvar la vida de su hijo
debía llegar a un acuerdo con los Di
Seroni. La familia le pidió una suma
que Cardano no podría haber reunido.
Giambatista fue torturado en
prisión y, posteriormente, ejecutado
el 13 de abril de 1560.
Como padre de un convicto ejecutado,
Cardano fue odiado, así que
viajó a Bolonia y solicitó un puesto
para trabajar como profesor de
medicina. Su segundo hijo, Aldo,
se estaba dedicando a las apuestas
y empezó a relacionarse con gente
de mala reputación. Llegó incluso a
robar joyas y dinero de la casa de
su padre, quien lo denunció a las
autoridades y fue desterrado de
Bolonia.
En 1570 Cardano fue procesado
por herejía luego de hacer el horóscopo
de Jesús y escribir un libro en
alabanza a Nerón. Estuvo poco tiempo
en prisión; tras su liberación, fue
vetado para desempeñar un puesto
universitario y publicar cualquier
otra obra. Luego viajó a Roma, donde
inesperadamente fue reconocido
como miembro del Colegio de Médicos
y recibió del papa Gregario XIII el
perdón y una pensión. En esta época
Cardano escribió su autobiografía,
en la que predijo la fecha exacta de
su muerte, aunque se cree que lo
consiguió suicidándose. Su cuerpo
fue trasladado a Milán y enterrado
en la iglesia de San Marco.
Además de los grandes avances
en el álgebra, Cardano hizo múltiples
contribuciones a la probabilidad,
la hidrodinámica, la mecánica y
la geología